Question

在平面直角坐標系中，直角梯形AOBC的位置如圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別是線段AC、線段BC上的動點，使得△MON的面積最大時，周長最短，則點M的坐標為

 

．

Answer 1

考點：直角梯形,坐標與圖形性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=

1

2

MP•QG+

1

2

MP•NG=

1

2

MP•QN，因為QN取得最大值是OB時，△MON的面積最大值=

1

2

OA•OB，設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，此時AM=3，從而求得M的坐標（3，4）．

解答：解：如圖，過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=

1

2

MP•QG+

1

2

MP•NG=

1

2

MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴當點N與點B重合，QN取得最大值OB時，△MON的面積最大值=

1

2

OA•OB，
設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，
此時△MON的面積最大，周長最短，
∵

AD

OD

=

AM

OM

，即

4

8

=

AM

6

，
∴AM=3，
∴M（，3，4）．

點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，坐標和圖形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等，作出輔助線是本題的關鍵．