Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒5cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，
（1）這個(gè)直角梯形ABCD的面積是多少？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）是否存在t，使得P點(diǎn)在線段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此時(shí)t的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作DM⊥BC于點(diǎn)M，在直角△CDM中，根據(jù)勾股定理即可求得CM，得到下底邊的長，根據(jù)梯形面積公式即可求解．
（2）當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形．
（3）連接QD，根據(jù)S_△DQC=S_△DQC，即可求解．

解答：解：（1）作DM⊥BC于點(diǎn)M．則四邊形ABMD是平行四邊形，
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM=

CD2-DM2

=8cm，
∴BC=BM+CM=4+8=12cm，
∴直角梯形ABCD的面積為

1

2

（AD+BC）•AB=48cm²；

（2）當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形，
即4-5x=4x，
解得x=

4

9

；

（3）存在，t=

7

4

．
連接QD，則CP=14-4t，CQ=5t，
若QP⊥CD，S_△DQC=S_△DQC，有CQ×AB=CD×QP，即5t×6=10×QP，
得QP=3t，
在Rt△QPC中，
QP²+PC²=CQ²，即（3t）²+（14-4t）²=（5t）²
解之得 t=

7

4

，
求得BC=12，
CP=14-4t=7＜10，
CQ=5t=

35

4

＜12，
所以，存在t=

7

4

時(shí)，使得P點(diǎn)在線段DC上，且PQ⊥DC．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的判定方法，梯形的計(jì)算，梯形問題一般通過作高線轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形的問題．