Question

【題目】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．如圖1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，倍角三角形的三邊a，b，c有什么關(guān)系呢？讓我們一起來(lái)探索．

（1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究．請(qǐng)你結(jié)合圖形填空：

三三角形角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）如圖4，對(duì)于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，a，b，c，三邊有什么關(guān)系呢？請(qǐng)你作出猜測(cè)，并結(jié)合圖4給出的輔助線提示加以證明；

（3）請(qǐng)你運(yùn)用（2）中的結(jié)論解決下列問(wèn)題：若一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)為5，6，求第三邊長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）第三邊的長(zhǎng)為或或或4或．

【解析】

（1）由題意可分別得出相應(yīng)角的度數(shù)，求解特殊角的三角函數(shù)值即可；（2）由第（1）猜測(cè)a，b，c的關(guān)系是=，如圖4作出輔助線，不難證明△CBD∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的比值，得出結(jié)論；（3）分類討論分別求出第三邊長(zhǎng)即可.

（1）

三角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）猜測(cè)a，b，c的關(guān)系是=，延長(zhǎng)CA至D，使AD=AB（如圖4）；

∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，

∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，

∵∠CAB=2∠CBA，

∴∠D=∠CBA，

又∵∠C=∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴=，即=；

（3）①當(dāng)a=5，b=6時(shí)，

由（2）得：=，解得c=﹣（不合題意舍去）；

②當(dāng)a=6，b=5時(shí)，

=，解得c=；

③當(dāng)a=5，c=6時(shí)，

=，解得b=﹣3（負(fù)值舍去）；

④當(dāng)a=6，c=5時(shí)，

=，解得b=4（負(fù)值舍去）；

⑤當(dāng)b=5，c=6時(shí)，

=，解得a=（負(fù)值舍去）；

⑥當(dāng)b=6，c=5時(shí)，

=，解得a=（負(fù)值舍去）；

綜上可知：第三邊的長(zhǎng)為或或﹣3或4或．