Question

【題目】已知拋物線y＝kx2+（1﹣2k）x+1﹣3k與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B．

（1）求k的取值范圍；

（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)M，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)＜k≤8時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)M和點(diǎn)A，B構(gòu)成的△ABM的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應(yīng)的k值．

Answer 1

【答案】（1）且；（2）見解析，M(3,4) ；（3）△ABM的面積有最大值，

【解析】

（1）根據(jù)題意得出△=（1-2k）2-4×k×（1-3k）=（1-4k）2＞0，得出1-4k≠0，解不等式即可；
（2）y= k（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與k無關(guān)，解得x=3或x=-1（舍去，此時(shí)y=0，在坐標(biāo)軸上），故定點(diǎn)為（3，4）；
（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=||，由已知條件得出，得出0＜||≤，因此|AB|最大時(shí)，||=，解方程即可得到結(jié)果.

解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，拋物線與軸相交于不同的兩點(diǎn)、，

△，

，

，

∴k的取值范圍為且；

（2）證明：拋物線，

，

拋物線過定點(diǎn)說明在這一點(diǎn)與k無關(guān)，

顯然當(dāng)時(shí)，與k無關(guān)，

解得：或，

當(dāng)時(shí)，，定點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，，定點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴M不在坐標(biāo)軸上，

；

（3），

，

，

，

，

，

最大時(shí)，，

解得：，或（舍去），

當(dāng)時(shí)，有最大值，

此時(shí)的面積最大，沒有最小值，

則面積最大為：．