Question

【題目】如圖，在矩形中， ＝8， ＝6，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以2 的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿→以4 的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后，繼續(xù)沿→以3 的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng).連結(jié)，以、為邊作□，連結(jié)交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），□與矩形重疊部分圖形的面積為.

（1）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上，△是等腰三角形時(shí)，求的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上，△與△相似時(shí)，求的值.

（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）當(dāng)△是等腰三角形時(shí)，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， （4）， ， ．

【解析】試題分析：

(1) 由于△APQ為等腰直角三角形，所以AQ=AP. 根據(jù)對已知條件和動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程的分析，可以用x表示出線段AQ與AP的長. 根據(jù)AQ=AP可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解這個(gè)方程即可得到滿足條件的x值.

(2) 題干中給出的相似三角形有△CFQ∽△CAD與△CFQ∽△CDA兩種情況. 需要據(jù)此分兩種情況求解. 在第一種情況下，可以判定四邊形APQD為平行四邊形. 利用x表示出線段DQ與AP的長，可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解這個(gè)方程即可得到滿足條件的x值. 在第二種情況下，可以得到△CFQ與△AFP均為直角三角形. 在這兩個(gè)直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)可以得到線段CQ，AP以及AC的長度關(guān)系. 利用此關(guān)系列出方程求解即可.

(3) 分析題意可知，在PQ⊥AB之前，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積為梯形BPQC的面積；在PQ⊥AB之后，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積為平行四邊形BPQE的面積，但是平行四邊形BPQE面積的變化規(guī)律與點(diǎn)Q在線段CD還是AD上有關(guān). 當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，平行四邊形BPQE的高不變；當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí)，平行四邊形BPQE的高隨x的增大而減小. 根據(jù)上述分析，分三種情況討論即可.

(4) 綜合分析可知，△APF為等腰三角形有三種情況. 第一種情況下，AP=FP. 通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，線段AF的長是一個(gè)定值. 因此，通過等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，利用線段AF的長和銳角三角函數(shù)可以獲得線段AP的長，進(jìn)而獲得x的值. 第二種情況下，AF=AP. 由線段AF的長容易得到線段AP的長，進(jìn)而獲得x的值. 第二種情況下，AF=PF. 在這種情況下，可以通過銳角三角函數(shù)的定義，利用線段AQ和AP的長度表達(dá)式，列出方程求解.

試題解析：

(1) 根據(jù)題意畫出下列示意圖.

∵△APQ為等腰直角三角形，

又∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，

∴AP=AQ.

∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x (s)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2 (cm/s)，

∴AP=2x (cm).

∵當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為CD+DQ，

∵在線段CD上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為4 (cm/s)，

又∵在矩形ABCD中，CD=AB=8cm，

∴點(diǎn)Q完成在線段CD上的運(yùn)動(dòng)需要2 (s).

∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x (s)，

∵在線段AD上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3 (cm/s)，

∴DQ=3(x-2) (cm)，

∵在矩形ABCD中，AD=BC=6cm，

∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).

由AP=2x (cm)，AQ =6-3(x-2) (cm)，AP=AQ，可列關(guān)于x的方程：

2x=6-3(x-2)，

解之，得

(s).

∵點(diǎn)Q完成在線段CD上的運(yùn)動(dòng)需要2 (s)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q完成全部運(yùn)動(dòng)均需要4 (s)，

∴在本小題中， ，

∴符合題意.

故當(dāng)點(diǎn)Q在邊AD上，△APQ是等腰直角三角形時(shí)，x的值為.

(2) 分析題意可知，本小題應(yīng)分以下兩種情況分別求解.

①當(dāng)△CFQ∽△CAD時(shí)，

∵△CFQ∽△CAD，

∴∠CFQ=∠CAD，

∴FQ∥AD，

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，即AP∥DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形，

∴AP=QD.

∵在線段CD上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為4 (cm/s)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x (s)，

∴CQ=4x (cm)，

∴QD=CD-CQ=8-4x (cm)，

由AP=2x (cm)，QD=8-4x (cm)，AP=QD，可列關(guān)于x的方程：

2x=8-4x，

解之，得

(s).

∵點(diǎn)Q完成在線段CD上的運(yùn)動(dòng)需要2 (s)，

∴在本小題中， ，

∴符合題意.

②當(dāng)△CFQ∽△CDA時(shí)，

∵△CFQ∽△CDA，

∴∠CFQ=∠CDA，

∵在矩形ABCD中，∠CDA=90°，

∴∠CFQ=∠CDA=90°，

∴△CFQ與△AFP均為直角三角形.

∵AD=6cm，CD=8cm，

∴在Rt△CDA中， (cm)，

∴在Rt△CDA中， .

∵CQ=4x (cm)，

∴在Rt△CFQ中， (cm).

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠PAF=∠ACD，

∵AP=2x (cm)，

∴在Rt△AFP中， (cm).

由AF+CF=AC，可列關(guān)于x的方程：

，

解之，得

(s).

∵在本小題中， ，

∴不符合題意.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上，△CFQ與△CAD相似時(shí)，x的值為.

(3) ∵當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，AP=QD，

又∵AP=2x (cm)，QD=8-4x (cm)，

∴ (s).

又∵點(diǎn)Q完成在線段CD上的運(yùn)動(dòng)需要2 (s)，

∴本小題應(yīng)分別在， ， 三種情況下求解.(示意圖如下)

①當(dāng)時(shí)，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為梯形BPQC的面積.(如圖①)

∵AB=8(cm)，AP=2x(cm)，

∴PB=8-2x(cm)，

∵CQ=4x(cm)，PB=8-2x(cm)，BC=6(cm)，

∴.

②當(dāng)時(shí)，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為平行四邊形BPQE的面積.(如圖②)

∵QE=PB=8-2x(cm)，BC=6(cm)，

∴.

③當(dāng)時(shí)，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為平行四邊形BPQE的面積.(如圖③)

∵DQ=3(x-2) (cm)，

∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).

∵PB=8-2x(cm)，AQ=6-3(x-2) (cm)，

∴.

綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：

①當(dāng)時(shí)， ；

②當(dāng)時(shí)， ；

③當(dāng)時(shí)， .

(4) 當(dāng)△APF為等腰三角形時(shí)，x的值為， ， . 求解過程如下.

綜合分析可知，△APF為等腰三角形有如下圖所示的三種情況.

①若在圖①所示的情形下，則AP=FP.

過點(diǎn)P作PG⊥AF，垂足為G.

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，△APF∽△CQF，

∵當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，CQ=4x(cm)，

又∵AP=2x (cm)，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)， ，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，

∵AC=10 (cm)，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)， (cm).

∵AP=FP，PG⊥AF， (cm)，

∴ (cm)，

∵，

∴在Rt△AGP中， (cm)，

∵AP=2x (cm)，

∴ (s).

②若在圖②所示的情形下，則AP=AF.

∵點(diǎn)Q在CD上，

∴ (cm)，

∵AP=2x (cm)，

∴ (s).

③若在圖③所示的情形下，則AF=PF.

∵AF=PF，

∴在△AFP中，∠FPA=∠PAF.

∵，

∴.

∵AP=2x (cm)，AQ=6-3(x-2) (cm)，

∴在Rt△PAQ中， ，

∴ (s).

綜上所述，當(dāng)△APF為等腰三角形時(shí)，x的值為， ， .