Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結(jié)BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當(dāng)m=2時，求點B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長？

（3）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當(dāng)m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

 

Answer 1

【答案】

（1）點B的坐標(biāo)為（0，2）；（2）DE=4；（3）m的值為8或-8．.

【解析】

試題分析：（1）將m=2代入原式，得到二次函數(shù)的頂點式，據(jù)此即可求出B點的坐標(biāo)；

（2）延長EA，交y軸于點F，證出△AFC≌△AED，進而證出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性質(zhì)，求出DE=4；

（3）①根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)，得到，，將代入，即可求出二次函數(shù)的表達式；

②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，然后分（如圖1）和（圖2）兩種情況解答．

試題解析：（1）當(dāng)m=2時，y=（x-2）²+1，

把x=0代入y=（x-2）²+1，得：y=2，

∴點B的坐標(biāo)為（0，2）．

（2）延長EA，交y軸于點F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF=AE，

∵點A（m，-m²+m），點B（0，m），

∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m²+m）=m²，

∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，

∴，

即：，

∴DE=4．

（3）①∵點A的坐標(biāo)為（m，-m²+m），

∴點D的坐標(biāo)為（2m，-m²+m+4），

∴x=2m，y=-m²+m+4，

∴y=-•()²++4，

∴所求函數(shù)的解析式為：y=-x²++4，

②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），

點P的橫坐標(biāo)為3m，點P的縱坐標(biāo)為：（-m²+m+4）-（m²）=-m²+m+4，

把P（3m，-m²+m+4）的坐標(biāo)代入y=-x²++4得：-m²+m+4=-×（3m）²+×（3m）+4，

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=8．

（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABPD為平行四邊形時（如圖2），

點P的橫坐標(biāo)為m，點P的縱坐標(biāo)為：（-m²+m+4）+（m²）=m+4，

把P（m，m+4）的坐標(biāo)代入y=-x²++4得：

m+4=-m²+m+4，

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=-8，

綜上所述：m的值為8或-8．

考點:二次函數(shù)綜合題．