Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，2），O為坐標原點．設(shè)P點在第一象限，以P為圓心，半徑為1的⊙P與y軸及矩形OABC的邊BC都相切．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過O、P、A三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若⊙P與矩形OABC組合得到的圖形的面積能被一條直線l平分，求這條直線l的解析式；
（3）若點N在拋物線上，問x軸上是否存在點M，使得以M為圓心的⊙M能與△PAN的三邊PA、PN、AN所在直線都相切？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將三點坐標代入所設(shè)的解析式方程可得abc的值，進而可得解析式；
（2）連接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的對稱中心，進而設(shè)其方程為y=kx+b，代入PQ的坐標可得答案；
（3）假設(shè)存在并設(shè)出其坐標，①⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN相切，②⊙M與△PAN的邊AP、AN的延長線相切，兩種情況討論，根據(jù)相切的性質(zhì)，分析可得答案．

解答：解：（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上，
∴

c=0 a+b=3 16a+4b=0

，
即

a=-1 b=4 c=0

，
所以拋物線的解析式為：y=-x²+4x．（2分）

（2）連接AC、OB相交于Q，則Q是矩形OABC的對稱中心，
∵P是⊙P的對稱中心，
∴PQ平分⊙P與矩形OABC組合得到的圖形的面積
設(shè)PQ的解析式為y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
∴

k+b=3 2k+b=1

，
∴

k=-2 b=5

，
所以PQ解析式為y=-2x+5．（5分）

（3）假設(shè)x軸上存在點M，使得⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN所在的直線都相切，
則有如下兩種情形：
①當⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN相切時，則M是△PAN的內(nèi)心．
∵M在x軸上，
∴x軸為∠PAN的平分線，
∴P（1，3）關(guān)于x軸的對稱點G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式為：y=x-4，
由

y=x-4 y=-x2+4x

得到N（-1，-5）（7分）
作PR⊥ox軸于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴PA=3

2

作NH⊥ox軸于H，因為AN的解析式為：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴AN=5

2

，在Rt△NAP中，PN=

PA2+AN2

=2

17

∴Rt△NAP的內(nèi)切圓⊙M的半徑MT=

AN+PA-PN

2

=4

2

-

17

，
∴AM=

2

MT=8-

34

，
∴M(

34

-4，0）．（9分）
②當⊙M與△PAN的邊AP、AN的延長線相切于J、S，且與AN邊相切于R時，則M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三邊長度分別為：AN=5

2

，PA=3

2

，PN=2

17

∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圓的半徑MS=

AP+AN+PN

2

=4

2

+

17

，
∴AM=

2

MS=8+

34

，M(-

34

-4，0）．
綜上所述：x軸上存在點M，
使得⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN所在的直線都相切M(

34

-4，0）、M(-

34

-4，0）．（12分）

點評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．