Question

在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任給五點(diǎn)，則必有兩點(diǎn)，它們之間的距離不大于

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Answer 1

分析：由抽屜原則，顯然我們應(yīng)將這五點(diǎn)放入四個(gè)合適的抽屜中，且每個(gè)抽屜中任兩個(gè)點(diǎn)的距離都不超過(guò)

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．于是我們可以通過(guò)連接正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)，從而將其分割成長(zhǎng)度為

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的四個(gè)小正方形來(lái)構(gòu)造“抽屜”，即可證得．

解答：解：由抽屜原則，顯然我們應(yīng)將這五點(diǎn)放入四個(gè)合適的抽屜中，且每個(gè)抽屜中任兩個(gè)點(diǎn)的距離都不超過(guò)

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．于是我們可以通過(guò)連接正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)，從而將其分割成長(zhǎng)度為

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的四個(gè)小正方形來(lái)構(gòu)造“抽屜”．這樣，任意的五個(gè)點(diǎn)中必有兩個(gè)點(diǎn)一定在同一個(gè)小正方形內(nèi)，如圖所示，而每一個(gè)小正方形內(nèi)兩點(diǎn)間的最大距離就是

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．因此，在同一個(gè)小正方形內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)的距離一定不大于

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．于是命題得證．

這里，特別值得一提的是，并不是任意與幾何圖形有關(guān)的命題在構(gòu)造抽屜時(shí)都一定得將圖形等分（見(jiàn)下面的例9）．事實(shí)上，就本例來(lái)講，如果將原正方形的兩條對(duì)角線連接起來(lái)，也將原正方形四等分了，但是對(duì)于原命題的證明是沒(méi)有任何原助的．因?yàn)檫@時(shí)如果兩點(diǎn)恰好位于正方形的相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處，這樣的兩個(gè)點(diǎn)也可以在一個(gè)抽屜內(nèi)，但是這兩個(gè)點(diǎn)的距離卻不大于

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，顯然與原命題的要求不符．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽屜原理的應(yīng)用，難度較大．抽屜原理在競(jìng)賽題中經(jīng)常用到，同學(xué)們要注意掌握．