Question

如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點和軸上另一點，頂點的坐標(biāo)為；矩形的頂點與點重合，分別在軸、軸上，且，．

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將矩形以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿軸的正方向勻速平行移動，同時一動點也以相同的速度從點出發(fā)向勻速移動．設(shè)它們運(yùn)動的時間為秒（），直線與該拋物線的交點為（如圖2所示）．

①當(dāng)時，判斷點是否在直線上，并說明理由；

②設(shè)以為頂點的多邊形面積為，試問是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）因所求拋物線的頂點的坐標(biāo)為（2，4），

故可設(shè)其關(guān)系式為．

又拋物線經(jīng)過，于是得，

解得．

∴所求函數(shù)關(guān)系式為，即．

（2）①點不在直線上．

根據(jù)拋物線的對稱性可知點的坐標(biāo)為（4，0），

又的坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線的關(guān)系式為．

于是得，解得．

所以直線的關(guān)系式為．

由已知條件易得，當(dāng)時，，∴．

∵點的坐標(biāo)不滿足直線的關(guān)系式，

∴當(dāng)時，點不在直線上．

②存在最大值．理由如下：

∵點在軸的非負(fù)半軸上，且在拋物線上，

∴，

∴點的坐標(biāo)分別為、，

∴（），

∴，

∴．

（i）當(dāng)，即或時，以點為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為，∴．

（ii）當(dāng)時，以點為頂點的多邊形是四邊形，

∵，

∴，

其中（），由，，此時．

綜上所述，當(dāng)時，以點為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．

說明：（ii）中的關(guān)系式，當(dāng)和時也適合．