Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)P、Q分別是AB、AC上的一動點(diǎn)，且滿足BP=AQ，D是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形APDQ是正方形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD

∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點(diǎn)

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，

在△BPD和△AQD中，

，

∴△BPD≌△AQD（SAS），

∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，

∵∠BDP+∠ADP=90°

∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，

∴△PDQ為等腰直角三角形

（2）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APDQ是正方形；理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，DP⊥AB，即∠APD=90°，

又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，

∴四邊形APDQ為矩形，

又∵DP=AP= AB，

∴矩形APDQ為正方形（鄰邊相等的矩形為正方形）．

【解析】（1）連接AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD=DC，從而證明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，則△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，從而證出△PDQ是等腰直角三角形；（2）若四邊形APDQ是正方形，則DP⊥AP，得到P點(diǎn)是AB的中點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和正方形的判定方法是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．