【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點G是BC邊上任意一點,DE⊥AG于點E,BF∥DE且交AG于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)如圖1,連接DF、CE,探究線段DF與CE的關系并證明;
(3)如圖2,若AB=,G為CB中點,連接CF,直接寫出四邊形CDEF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)DF=CE且DF⊥CE.理由見解析.(3)3.
【解析】
試題(1)根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)求出∠AED=∠BFA=90°,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°,再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE,然后利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BF;
(2)根據(jù)同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=DE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD,然后利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=CE,全等三角形對應角相等可得∠ADF=∠DCE,再求出∠DCF+∠CDF=90°,然后根據(jù)垂直的定義證明即可;
(3)根據(jù)線段中點的定義求出BG,再利用勾股定理列式求出AG,然后利用△ABG的面積列出方程求出BF,再利用勾股定理列式求出AF,從而得到AE=EF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得DF=AD,然后根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解.
試題解析:(1)證明:∵DE⊥AG于點E,BF∥DE且交AG于點F,
∴BF⊥AG于點F,
∴∠AED=∠BFA=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAF+∠EAD=90°,
∵∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠BAF=∠ADE,
在△AFB和△DEA中,
∴△AFB≌△DEA(AAS),
∴BF=AE;
(2)DF=CE且DF⊥CE.
理由如下:∵∠FAD+∠ADE=90°,∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,
∴∠FAD=∠EDC,
∵△AFB≌△DEA,
∴AF=DE,
又∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD,
在△FAD和△EDC中,
∴△FAD≌△EDC(SAS),
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE,
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,
∴∠DCF+∠CDF=90°,
∴△FAD≌△EDC(SAS),
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE,
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,
∴∠DCF+∠CDF=90°,
∴DF⊥CE;
(3)∵AB=,G為CB中點,
∴BG=BC=,
由勾股定理得,AG=
∵S△ABG=AG×BF=AB×BG
∴××BF=××
解得:BF=
由勾股定理得,AF=
∵△AFB≌△DEA,
∴AE=BF=
∴AE=EF=
∴DE垂直平分AF,
∴DF=AD=6,
由(2)知,DF=CE且DF⊥CE,
∴四邊形CDEF的面積=DFCE=.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,D為⊙O上的一點,CD=CB,延長CD交BA的延長線于點E,
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若EA=BO=2,求圖中陰影部分的面積(結果保留π)
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【題目】如圖,一個正比例函數(shù)與一個一次函數(shù)的圖象交于點A(3,4),其中一次函數(shù)與y軸交于B點,且OA=OB.
(1)求這兩個函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積S.
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【題目】如圖,點A、B都在數(shù)軸上,O為原點.
(1)點B表示的數(shù)是_________________;
(2)若點B以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動,則2秒后點B表示的數(shù)是________;
(3)若點A、B分別以每秒1個單位長度、3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動,而點O不動,t秒后,A、B、O三個點中有一個點是另外兩個點為端點的線段的中點,求t的值.
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【題目】工業(yè)園區(qū)某機械廠的一個車間主要負責生產(chǎn)螺絲和螺母,該車間有工人44人,其中女生人數(shù)比男生人數(shù)的倍少人,每個工人平均每天可以生產(chǎn)螺絲個或者螺母個
(1)該車間有男生、女生各多少人?
(2)已知一個螺絲與兩個螺母配套,為了使每天生產(chǎn)的螺絲螺母恰好配套,應該分配多少工人負責生產(chǎn)螺絲,多少工人負責生產(chǎn)螺母?
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【題目】如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為2,翻折∠B、∠D,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P、EF、GH分別是折痕(如圖2).設AE=x(0<x<2),給出下列判斷:①當x=1時,點P是正方形ABCD的中心;②當x=時,EF+GH>AC;③當0<x<2時,六邊形AEFCHG面積的最大值是3;④當0<x<2時,六邊形AEFCHG周長的值不變.其中正確的選項是( )
A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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【題目】平面直角坐標系xOy中,直線y=x+b與直線y=x交于點A(m,1).與y軸交于點B
(1)求m的值和點B的坐標;
(2)若點C在y軸上,且△ABC的面積是1,請直接寫出點C的坐標.
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【題目】學生的學業(yè)負擔過重會嚴重影響學生對待學習的態(tài)度.為此我市教育部門對部分學校的八年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調(diào)查(把學習態(tài)度分為三個層級,A級:對學習很感興趣;B級:對學習較感興趣;C級:對學習不感興趣),并將調(diào)查結果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計圖(不完整).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學生;
(2)將圖①補充完整;
(3)求出圖②中C級所占的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結果,請你估計我市近8000名八年級學生中大約有多少名學生學習態(tài)度達標(達標包括A級和B級)?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線分別交軸、軸于點,直線與直線交于點,點為軸上一動點.
(1)求點的坐標;
(2)當的值最小時,求此時點的坐標,并求的最小值;
(3)在平面直角坐標系中是否存在點,使以點為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說出理由.
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