Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F．

（1）求證：AE=BF；

（2）如圖1，連接DF、CE，探究線段DF與CE的關(guān)系并證明；

（3）如圖2，若AB=，G為CB中點(diǎn)，連接CF，直接寫出四邊形CDEF的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）DF=CE且DF⊥CE．理由見解析.(3)3.

【解析】

試題（1）根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)求出∠AED=∠BFA=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF；

（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；

（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后利用△ABG的面積列出方程求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，從而得到AE=EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得DF=AD，然后根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．

試題解析：（1）證明：∵DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F，

∴BF⊥AG于點(diǎn)F，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴BF=AE；

（2）DF=CE且DF⊥CE．

理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCF+∠CDF=90°，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCF+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE；

（3）∵AB=，G為CB中點(diǎn)，

∴BG=BC=，

由勾股定理得，AG=

∵S△ABG=AG×BF=AB×BG

∴××BF=××

解得：BF=

由勾股定理得，AF=

∵△AFB≌△DEA，

∴AE=BF=

∴AE=EF=

∴DE垂直平分AF，

∴DF=AD=6，

由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，

∴四邊形CDEF的面積=DFCE=．