已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．

(1)如圖1，當P點在線段AB上時，求PE＋PF的值．

(2)如圖2，當P點在線段AB的延長線上時，求PE－PF的值．

答案：
解析：

　　分析：(1)因為ABCD是正方形，所以對角線互相垂直，又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．

　　(2)因為ABCD是正方形，所以對角線互相垂直，又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．

　　解答：解：(1)∵ABCD是正方形，

　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，

　　∴四邊形PFOE為矩形，故PE＝OF．

　　又∵∠PBF＝45°，∴PF＝BF．

　　∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝acos45°＝a．

　　(2)∵ABCD是正方形，

　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，

　　∴四邊形PFOE為矩形，故PE＝OF．

　　又∵∠PBF＝∠OBA＝45°，∴PF＝BF．

　　∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝acos45°＝a．

　　點評：本題考查正方形的性質(zhì)，正方形的對角線互相垂直且平分每一組對角，四邊相等，四個角都是直角，以及矩形的判定和性質(zhì)解直角三角形等．


提示：

考點：正方形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD的邊長為12cm，E為CD邊上一點，DE=5cm．以點A為中心，將△ADE按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ABF，則點E所經(jīng)過的路徑長為
 
cm．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為6，以D為圓心，DA為半徑在正方形內(nèi)作弧AC，E是AB邊上動點（與點A、B不重精英家教網(wǎng)合），過點E作弧AC的切線，交BC于點F，G為切點，⊙O是△EBF的內(nèi)切圓，分別切EB、BF、FE于點P、J、H
（1）求證：△ADE∽△PEO；
（2）設AE=x，⊙O的半徑為y，求y關(guān)于x的解析式，并寫出定義域；
（3）當⊙O的半徑為1時，求CF的長；
（4）當點E在移動時，圖中哪些線段與線段EP始終保持相等，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•同安區(qū)質(zhì)檢）如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，延長BC到點F使CF=AE．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）現(xiàn)把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點G．求AG的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•香洲區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為28，動點P從A開始在線段AD上以每秒3個單位長度的速度向點D運動（點P到達點D時終止運動），動直線EF從AD開始以每秒1個單位長度的速度向下平行移動（即EF∥AD），并且分別與DC、AC交于E、F兩點，連接FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t 秒．
（1）t為何值時，梯形DPFE的面積最大？最大面積是多少？
（2）當梯形DPFE的面積等于△APF的面積時，求線段PF的長．
（3）△DPF能否為一個等腰三角形？若能，試求出所有的t的值；若不能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為8cm，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．當EF=8cm時，△AEF的面積是
32
32
cm2；當EF=7cm時，△EFC的面積是
8
8
cm2．

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