【題目】如圖1所示,在RtABC中,C=90°,點D是線段CA延長線上一點,且AD=AB.點F是線段AB上一點,連接DF,以DF為斜邊作等腰RtDFE,連接EA,EA滿足條件EAAB

1)若AEF=20°,ADE=50°,AC=2,求AB的長度;

2)求證:AE=AF+BC

3)如圖2,點F是線段BA延長線上一點,探究AEAF、BC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】12)證明見解析;(3AE+AF=BC,證明見解析

【解析】

試題分析:1)在等腰直角三角形DEF中,DEF=90°,求得1=20°,根據(jù)余角的定義得到2=DEF1=70°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到3=60°,4=30°根據(jù)三角函數(shù)的定義得到cos4=,于是得到結(jié)論;

2)如圖1,過DDMAED,在DEM中,由余角的定義得到2+5=9,由于2+1=90°,推出1=5證得DEM≌△EFA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=EM,根據(jù)三角形的內(nèi)角和和余角的定義得到3=B,推出DAM≌△ABC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AM即可得到結(jié)論;

3)如圖2,過DDMAEAE的延長線于M根據(jù)余角的定義和三角形的內(nèi)角和得到2=B,證得ADM≌△BAC,由全等三角形的性質(zhì)得到BC=AM,由于EF=DE,DEF=90°,推出4=5,證得MED≌△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=AF,即可得到結(jié)論.

解:(1)在等腰直角三角形DEF中,DEF=90°

∵∠1=20°,

∴∠2=DEF1=70°

∵∠EDA+2+3=180°,

∴∠3=60°

EAAB,

∴∠EAB=90°,

∵∠3+EAB+A=180°,

∴∠4=30°

∵∠C=90°,

cos4=,

AB===

2)如圖1,過DDMAED,在DEM中,2+5=90°,

∵∠2+1=90°

∴∠1=5,

DE=FE,

DEMEFA中,

,

∴△DEM≌△EFA

AF=EM,

∵∠4+B=90°,

∵∠3+EAB+4=180°,

∴∠3+4=90°,

∴∠3=B

DAMABC中,

,

∴△DAM≌△ABC,

BC=AM,

AE=EM+AM=AF+BC;

3)如圖2,過DDMAEAE的延長線于M,

∵∠C=90°,

∴∠1+B=90°

∵∠2+MAB+1=180°,MAB=90°

∴∠2+1=90°,2=B,

ADMBAC中,

,

∴△ADM≌△BAC

BC=AM,

EF=DEDEF=90°,

∵∠3+DEF+4=180°

∴∠3+4=90°,

∵∠3+5=90°,

∴∠4=5

MEDAFE中,

∴△MED≌△AFE,

ME=AF,

AE+AF=AE+ME=AM=BC

AE+AF=BC

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