Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，已 知A（2，0）、C（1，），將△OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷點(diǎn)B是否在拋物線上；
（3）若點(diǎn)P是線段OA上的點(diǎn)，且∠APD=∠OAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，以P、A、D為平行四邊形的三個頂點(diǎn)作平行四邊形，使該平行四邊形的另一個頂點(diǎn)在y軸上，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-2x經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），
∴4a-4=0，
解得a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x；

（2）∵將△OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置，
∴△ACO≌△CAB，
∴AO=CB，CO=AB，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，且BC=OA．
∵A（2，0）、C（1，），
∴x_B=x_C+2=3，y_B=y_C=3，
∴B（3，3）．
將B（3，3）代入y=x²-2x，等式成立，
∴點(diǎn)B在拋物線上；

（3）分別過點(diǎn)B、D作x軸的垂線，垂足分別為E、F，
由y=x²-2x，可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-），
∵B（3，3），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，
tan∠BOE=，
tan∠DAF=，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
又∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB，
∴．
∵OA=2，，，
∴，
∴，
∴P（，0）；

（4）設(shè)以P、A、D為平行四邊形的第四個頂點(diǎn)為Q，分三種情況進(jìn)行討論：

①如圖1，以DP為對角線，此時QD=AP=1，因此OP=OA-AP=2-1=1，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
②如圖2，以AD為對角線，此時QD=AP=1，因此OP=OA+AP=2+1=3，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
③如圖3，以AP為對角線，此時D，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），由于AD與PQ平行且相等，將A點(diǎn)先向左平移1個單位，再向下平移個單位得到點(diǎn)D，所以將Q點(diǎn)先向左平移1個單位，再向下平移個單位得到點(diǎn)P，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0-1，-），即（-1，0）．
因此共有3個符合條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為：（-1，0）或（1，0）或（3，0）．
分析：（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²-2x，即可得出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形OABC是平行四邊形，OA=2，因此將C點(diǎn)向右平移2個單位即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出B是否在拋物線上；
（3）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出OB、AD的長，當(dāng)∠APD=∠OAB時，可得出△APD∽△OAB，進(jìn)而可得出關(guān)于AP，AD、OA、OB的比例關(guān)系式．設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用P的橫坐標(biāo)表示出AP的長，即可根據(jù)上面的比例關(guān)系式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別以AP，AD，DP為對角線分三種情況進(jìn)行分析即可求得答案．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．