Question

【題目】操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q，設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．

探究：

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察到的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)x的值；如果不可能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）PQ=PB，證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）y=（0≤x＜）；（3）x＝0或1.

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，得出NP=NC=MB，從而證明△QNP≌△PMB，從而得出答案；（2）設(shè)AP=x，則M＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x，根據(jù)題意得出△PBC和△PCQ的面積，然后得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）本題分三種情況進(jìn)行討論，即①當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC上；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上；③當(dāng)點(diǎn)Q與C點(diǎn)重合.

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形（如圖1），∴NP＝NC＝MB．

∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．

（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．

設(shè)AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x

∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－x

∴S△PBC＝BCBM＝×1×（1－x）＝－x，

S△PCQ＝CQPN＝×（1－x）（1－x）＝，

∴S四邊形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝， 即y＝（0≤x＜）．

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．

①當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC上，由得：

解得x1＝0，x2＝（舍去）；

②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上（如圖2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，

解得x＝1．

③當(dāng)點(diǎn)Q與C點(diǎn)重合，△PCQ不存在．

綜上所述，x＝0或1時(shí)，△PCQ為等腰三角形