Question

將一副直角三角板按圖所示方式放置，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=60°，∠ECD=45°，AB邊交直線DE于點M，設(shè)∠BMD=α，∠BCE=β，將直角三角板ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B始終位于直線DE下方，猜想變化過程中α與β的數(shù)量關(guān)系，并利用相交線與平行線的相關(guān)知識證明你的猜想．

Answer 1

考點：平行線的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：分類討論：當(dāng)將直角三角板ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到α+30°=β+45°，
即α-β=15°；當(dāng)將直角三角板ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)時，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BMD=∠1+∠B，再根據(jù)對頂角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠1=∠2，∠2=180°-∠DEC-∠BCE，所以∠BMD=180°-∠DEC-∠BCE+∠B，即α=180°-45°-β+30°，于是得到α+β=165°．

解答：解：α與β的數(shù)量關(guān)系為α-β=15°或α+β=165°．
當(dāng)將直角三角板ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖1，
∵∠BMD+∠B=∠BDE+∠DEC，
∴α+30°=β+45°，
∴α-β=15°；
當(dāng)將直角三角板ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)時，如圖2，
∵∠BMD=∠1+∠B，
而∠1=∠2，∠2=180°-∠DEC-∠BCE，
∴∠BMD=180°-∠DEC-∠BCE+∠B，
∴α=180°-45°-β+30°，
∴α+β=165°．

點評：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．也考查了三角形內(nèi)角和定理．