Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三點，設(shè)該二次函數(shù)的頂點為G．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點G的坐標；
（2）求tan∠ACG的值；
（3）如該二次函數(shù)的圖象上有一點P，x軸上有一點E，問是否存在以A、G、E、P為頂點的平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三點在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，然后化為頂點式就可以求出頂點坐標．
（2）過點G作GH⊥x軸于點H，GF⊥y軸于點F，由勾股定理求出AC、GC、AG從而求得△AGC是直角三角形，從而求得tan∠ACG的值．
（3）當AG為邊時，作GH⊥x軸于H，PN⊥x軸于點N，由平行四邊形的性質(zhì)可以得出PE=AG，可以證明PN=GH，可以求出P的坐標，當AG為對角線時，不存在．
解答：解：（1）∵A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，
∴
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4x+3，
∴y=（x-2）²-1，
∴頂點G（2，-1）．

（2）G作GH⊥x軸于點H，GF⊥y軸于點F，
∵G（2，-1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），
∴CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在Rt△GFC、Rt△AOC、Rt△GHA中由勾股定理，得
AC²=18，GC²=20，AG²=2
∴△ACG是直角三角形，且∠CAG=90°，
∴tan∠ACG==


（3）當AG為邊時，作GH⊥x軸于H，PN⊥x軸于點N
∴∠PNE=∠GHA=90°
∵四邊形PEGA是平行四邊形，
∴PE=AG，∠PEA=∠GAE，
∴△PNE≌△GHA，
∴PN=GH=1，設(shè)P（m，1）
∴m²-4m+3=1，
∴m=2±，
∴P（2±，1），
當AG為對角線時，不可能．
綜上所述，點P的坐標為（2±，1），

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．