Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，3)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動點(diǎn)M在OA上運(yùn)動，從O點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動點(diǎn)N在AB上運(yùn)動，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)．兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個點(diǎn)的運(yùn)動時間為t(秒)．

(1)求線段AB的長；當(dāng)t為何值時，MN∥OC？

(2)設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

(3)連接AC，那么是否存在這樣的t，使MN與AC互相垂直？若存在，求出這時的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：

1　 過點(diǎn)B做BD⊥ＯＡ于點(diǎn)D

則四邊形CODB是矩形

BD=CO=4　 OD=CB=3　 DA=3

在Rt△ABD中，AB=5

當(dāng)MN∥OC時　 MN∥BD　　

∴△AMN∽△ADB,　 AN／AB≡AM／AD

∵AN=OM=t, AM=6-t, AD=3

∴t／5＝6-t／3 即t=15／4

2

過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)F

∵NE∥BD

∴△AEN∽△ADB,EN／DB=AN／AB

即EN／4＝t／5,　 EN=4／5?t

∵EF=CO=4　 ∴FN=4-4／5?t

∵S=S梯形OABC－S△COM－S△MNA－S△CBN

∴S=COOA＋CB－CO?OM－AM?EN－CB?FN

＝×4×6＋3－×4t－6－t×t－×3×4－t

即S＝t²－t+12 (0≤t≤5)

由S＝t²－t+12

得S＝(t－4)²+

∴當(dāng)t=4時,S有最小值，S最小值=