Question

已知：AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，垂足為N，P、Q是

AM

、

BM

上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），如果∠MNP=∠MNQ，給出下列結(jié)論：
①∠1=∠2；②∠Q=∠PMN；③MN²=PN•QN；④PM=QM．
則其中正確的結(jié)論有

 

．（只填寫正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：

分析：利用等角的余角相等得到①對(duì)．利用垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等得②對(duì)；利用三角形相似得③對(duì)，④錯(cuò)．

解答：解：如圖，延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，
∵M(jìn)N⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
則∠1=∠2，故①正確；
∵AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，

AM

=

DA

，
由∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
得P，C關(guān)于AB對(duì)稱，

PA

=

AC

，

PD

=

MC

，
∴∠Q=∠PMN，故②正確；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故③正確，④錯(cuò)誤
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．