Question

如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AE于點E．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）當⊙O的半徑為3，cosA=

4

5

時，求EF的長．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,平行線分線段成比例

專題：

分析：（1）連接OB，利用已知條件和切線的性質證明：OE∥BD，即可證明：∠E=∠C；
（2）首先求出AB，AO的長，設FB為x，利用勾股定理可得：EB²=EF²+BF²，即6²=（2x）²+x²，解方程可求出x的值，進而求出EF的長．

解答：（1）證明：連接OB，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切線，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半徑，
∴OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD，
∴∠E=∠C；

（2）解：∵在Rt△OBA中，cosA=

4

5

，OB=3，
∴AB=4，AO=5，
∴AD=2．
∴

AB

BE

=

AD

OD

，
∵BD∥OE，
∴

4

BE

=

2

3

，
∴BE=6，
∵OE∥BD，
∴∠EFB=∠CBD=∠OBE=90°，
∵在Rt△OBE中，tanE=

OB

BE

=

3

6

=

1

2

，
∴在Rt△FBE中，tanE=

FB

FE

=

1

2

，
設FB為x，
∵EB²=EF²+BF²
∴6²=（2x）²+x²
∴x=

6 5

5

，
∴EF=

12 5

5

．

點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質，勾股定理的運用，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．