Question

【題目】探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時發(fā)現(xiàn)，對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：他還利用圖2證明了線段P1P2的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式：，．

（1）請你幫小明寫出中點(diǎn)坐標(biāo)公式的證明過程；

運(yùn)用：（2）①已知點(diǎn)M（2，﹣1），N（﹣3，5），則線段MN長度為 ；

②直接寫出以點(diǎn)A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)： ；

拓展：（3）如圖3，點(diǎn)P（2，n）在函數(shù)（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請在OL、x軸上分別找出點(diǎn)E、F，使△PEF的周長最小，簡要敘述作圖方法，并求出周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）用P1、P2的坐標(biāo)分別表示出OQ和PQ的長即可證得結(jié)論；

（2）①直接利用兩點(diǎn)間距離公式可求得MN的長；②分AB、AC、BC為對角線，可求得其中心的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，則可知OR=OS=2，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得R的坐標(biāo)，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由對稱性可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)S，此時EP=EM，F(xiàn)P=FN，此時滿足△PEF的周長最小，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得其周長的最小值．

試題解析：

（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ，∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線，∴PQ= =，即線段P1P2的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式為x=，y=；

（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案為：；

②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，其對稱中心坐標(biāo)為（0，1），設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此時D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3），當(dāng)AC為對角線時，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1），當(dāng)BC為對角線時，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案為：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；

（3）如圖，設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，又對稱性可知EP=EM，F(xiàn)P=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此時△PEF的周長即為MN的長，為最小，設(shè)R（x，），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R（，），∴，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），設(shè)M（x，y），則=， =，解得x=，y=，∴M（，），∴MN= =，即△PEF的周長的最小值為．