Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)FA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，4），DO平行⊙O的弦MB，連DM并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）判斷直線(xiàn)DC與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）若AC=2CM，求直線(xiàn)CD的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，4），求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）通過(guò)證明三角形AOD和DOM全等來(lái)求解．已知的條件有OA=OM，一條公共邊OD，只要證明出兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可，可通過(guò)OD∥MB，OM=OB來(lái)證得．
（3）先根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)求出AD的長(zhǎng)，由切線(xiàn)的性質(zhì)得出DM的長(zhǎng)，在Rt△ADC中，AD的長(zhǎng)已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根據(jù)勾股定理和MC，AC的比例關(guān)系求出MC的長(zhǎng)．也就求出了M的坐標(biāo)．有了M和D的坐標(biāo)可以用待定系數(shù)法求出DC所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式．

解答：（1）解：∵直線(xiàn)FA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，4），
∴OA=2，
∴OB=OA=2，
∴B（2，0）；

（2）答：直線(xiàn)DC與⊙O相切于點(diǎn)M．
證明如下：連OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

，
∴△DAO≌△DMO（SAS）．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x軸于點(diǎn)A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．

（3）答：相切．
證明如下：∵D（-2，4），F(xiàn)A⊥x軸于點(diǎn)A，
∴AD=4，
∵DC切⊙O于M，
∴DM=AD=4，
在Rt△ACD中，
∵CD=MC+4，AC=2CM，
∴（2MC）²+4²=（MC+4）²，解得MC=

8

3

或MC=0（不合題意，舍去）．
∴MC的長(zhǎng)為

8

3

．
∴點(diǎn)C（

10

3

，0）．
設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為y=kx+b．
則有

0= 10 3 k+b 4=-2k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴直線(xiàn)DC的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、勾股定理及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度適中．