Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA＝3，OC＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．

（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為          頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周 長最��？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

          

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；．

（2）在中，，

．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，

∵頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線解析式為．

①當(dāng)時(shí)，，

．

解得（舍去）；．

．

．

解得．

拋物線的解析式為

②當(dāng)時(shí)，，

．

解得（舍去）．

③當(dāng)時(shí)，，這種情況不存在．

綜上所述，符合條件的拋物線解析式是．

（3）存在點(diǎn)，使得四邊形的周長最小．

作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，分別與軸、軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求點(diǎn)．

，．

．

．

又，

 ，此時(shí)四邊形的周長最小值是．

【解析】（1）由軸對稱的性質(zhì)，可知∠FBD=∠ABD，F(xiàn)B=AB，可得四邊形ABFD是正方形，則可求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（2）已知拋物線的頂點(diǎn)，則可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式．因?yàn)橐渣c(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的等腰三角形沒有給明頂角的頂點(diǎn)，而頂角和底邊都是惟一的，所以要抓住誰是頂角的頂點(diǎn)進(jìn)行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點(diǎn)進(jìn)行分類計(jì)算．