Question

已知，兩個(gè)自然數(shù)的和、差、積、商相加，結(jié)果為100，求這兩個(gè)自然數(shù)分別為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用

專(zhuān)題：

分析：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別為a，b，依題意得（a+b）+（a-b）+ab+

a

b

=100，由上式可知

a

b

一定為整數(shù)，可得a一定是b的整數(shù)倍，再設(shè)a=bk（k為整數(shù)），則上式變形為：k（b+1）²=100，由k，b均為整數(shù)，可得100必須為兩個(gè)整數(shù)之積，且其中一個(gè)因數(shù)必須為完全平方數(shù)，在100=1×100=2×50=4×25=5×20，其中1×100和4×25均符合題意，討論四種情況即可得出答案．

解答：解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別為a，b，依題意得，（a+b）+（a-b）+ab+

a

b

=100，由上式可知

a

b

一定為整數(shù)，
∴a一定是b的整數(shù)倍，
∴設(shè)a=bk（k為整數(shù)），則上式變形為：2bk+b²k+k=100，即k（b²+2b+1）=100=k（b+1）²=100，
∵k，b均為整數(shù)，
∴100必須為兩個(gè)整數(shù)之積，且其中一個(gè)因數(shù)必須為完全平方數(shù)，
∵100=1×100=2×50=4×25=5×20，其中1×100和4×25均符合題意，
∴①當(dāng)k=1時(shí)，b+1=10，可得b=9，a=9，
②當(dāng)k=100時(shí)，b+1=1，可得b=0，a=0，（不符合題意，舍去）
③當(dāng)k=4時(shí)，b+1=5，可得b=4，a=16，
④當(dāng)k=25時(shí)，b+1=2，可得b=1，a=25，
∴符合要求的自然數(shù)對(duì)有9，9和16，4和25，1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了整數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確的列出算式．