Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，至△AEB位置（AC，AB重合），延長AE、CB交于M，延長EB，AD交于N．求證：
（1）BE=BD；
（2）AM=AN．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AEB和△ADC全等，得出DC=BE，由三線合一得出DC=BD，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AEB和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，再結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，從而推出∠MBA=∠NBA，然后根據(jù)“角邊角”證明△AMB和△ANB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵△AEB由△ADC旋轉(zhuǎn)而得，
∴△AEB≌△ADC，
∴BE=DC，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴DC=BD，
∴BE=BD；
（2）∵△AEB由△ADC旋轉(zhuǎn)而得，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C，
∴∠EAB=∠DAB，
∠EBA=∠DBA，
∵∠EBM=∠DBN，
∴∠MBA=∠NBA，
在△AMB和△ANB中，

∠EAB=∠DAB AB=AB ∠MBA=∠NBA

，
∴△AMB≌△ANB（ASA），
∴AM=AN．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，證明邊相等，通常利用證明兩邊所在的三角形全等進(jìn)行證明．