Question

如圖1，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形B點(diǎn)正好落在CD上的點(diǎn)E處，連結(jié)BE．
（1）求證：∠BAE=2∠CBE；
（2）如圖2，連BG交AE于M，點(diǎn)N為BE的中點(diǎn)，連MN、AF，試探究AF與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若AB=5，BC=3，直接寫出BG的長

2

13

．

Answer 1

分析：（1）求出∠ABE=∠AEB，求出∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+2∠ABE=180°，即可求出答案；
（2）過B作BO⊥AE于O，連接EG，根據(jù)矩形性質(zhì)得出EG=AF，求出BC=BO=AG，求出M為BG中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出即可；
（3）根據(jù)勾股定理求出DE，求出求出OM=

1

2

DE=2，根據(jù)勾股定理求出BM，代入BG=2BM求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形A點(diǎn)正好落在CD上的點(diǎn)E處，
∴BC=AG，∠EAG=90°，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
∴2∠ABE+∠BAE=180°，
∵∠CBE+∠ABE=90°，
∴2∠CBE+2∠ABE=180°，
∴∠BAE=2∠CBE．

（2）MN=

1

2

AF，
證明：過B作BO⊥AE于O，連接EG，
∵四邊形AEFG是矩形，
∴AF=EG，∠MAG=∠BOM=90°，
∵∠C=∠CBA=90°，
∴∠AEB=∠ABE=90°-∠CBE，∠CEB=90°-∠CBE，
∴∠CEB=∠OEB，
在△CBE和△OBE中

∠CBE=∠OBE ∠C=∠BOE=90° BE=BE

∴△CBE≌△OBE（AAS），
∴EC=OE，BO=BC=AD=AG，
在△BOM和△GAM中

∠AMG=BME ∠BOM=∠GAM BO=AG

，
∴△BOM≌△GAM（AAS），
∴BM=GM，
∵點(diǎn)N為BE的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

EG，
∵EG=AF，
∴MN=

1

2

AF．

（3）解：在Rt△DEA中，∠EDA=90°，AD=BC=3，AE=AB=5，由勾股定理得：DE=4，
∵△BOM≌△GAM，△CBE≌△OBE，
∴OM=AM，EC=EO，
∴OM=

AE-OE

2

=

AB-EC

2

=

ED

2

=

4

2

=2，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM=

BO2+OM2

=

32+22

=

13

∵BM=GM，
∴BG=

13

+

13

=2

13

，
故答案為：2

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，矩形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)行定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．