Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤180°）得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是______，當α=90°時，的值是______；
（2）①如圖1，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時，求PQ的長；
②如圖2，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求PQ的長．
（3）小明在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)，當點P位于點B的右側(cè)時，總存在線段PQ與線段______相等；同時存在著特殊情況BP=BQ，此時點P的坐標是______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當α=90°時，可知=，根據(jù)比例的性質(zhì)得出=；
（2）①由△COP∽△A'OB'，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，則PQ可求；
②先利用AAS證明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即OP=PQ，然后在Rt△OCP中，運用勾股定理即可求出PQ的長；
（3）當點P位于點B的右側(cè)時，過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，根據(jù)S_△POQ=S_△POQ，即可證明出PQ=OP；
設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運用勾股定理，得出x=，進而求得點P的坐標．
解答：解：（1）∵O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四邊形OABC的形狀是矩形；
當α=90°時，P與C重合，如右圖，
根據(jù)題意，得==，
則=；

（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴，即，
∴CP=． 
同理△B'CQ∽△B'C'O，
，即，
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=；

②如圖2，∵在△OCP和△B'A'P中，
，
∴△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
設(shè)PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
故所求PQ的長為；
                                     
（3）當點P位于點B的右側(cè)時，總存在線段PQ與線段OP相等；同時存在著特殊情況BP=BQ，此時點P的坐標是P（-，6）．理由如下：
如備用圖，過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=PQ•OC，S_△POQ=OP•QH，
∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，
∵BP=BQ，
∴BQ=2x，
∵點P在點B右側(cè)，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
∴PC=BC-BP=8-=，
∴P（-，6）．
故答案為：矩形，；OP，P（-，6）．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．