Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為（-1，0）．如圖所示，B點(diǎn)在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2圖象上，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3．
（1）求證：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意推出∠BCD=∠COA，然后BC=AC，根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定△BDC≌△COA；
（2）首先（1）所得的結(jié)論，即可推出OC=BD=1，即可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，設(shè)出直線的函數(shù)關(guān)系式，把B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出k、b，即可推出結(jié)論；
（3）首先根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式，求出拋物線的對(duì)稱軸，然后分情況進(jìn)行分析①以AC為直角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，根據(jù)題意推出P₁點(diǎn)為BC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，根據(jù)直線BC的解析式和拋物線的解析式，即可推出P₁點(diǎn)的坐標(biāo)，②以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，做AP₂⊥AC，設(shè)與拋物線的對(duì)稱軸交于P₂點(diǎn)，確定點(diǎn)P₂的位置，由OA=CD，即可推出A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AP₂∥BC，即可推出直線AP₂的解析式，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的解析式，即可推出P₂的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵AC⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BDC=∠COA=90°，∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠OAC BC=AC

∴△BDC≌△COA（AAS），

（2）解：∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
∴BD=OC=1，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，1），
設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
∴解方程組得

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴直線BC所在直線的解析式為：y=-

1

2

x-

1

2

，

（3）解：存在，
∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

1

2

，
①若以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，做CP₁⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴P₁點(diǎn)為直線BC與對(duì)稱軸直線x=-

1

2

的交點(diǎn)，
∵直線BC所在直線的解析式為：y=-

1

2

x-

1

2

，
∴

y=- 1 2 x- 1 2 x=- 1 2

，
∴解得

x=- 1 2 y=- 1 4

，
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

1

4

）；
②若以AC為直角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P₂，使AP₂⊥AC，
∴過(guò)點(diǎn)A作AP₂∥BC，交對(duì)稱軸直線x=-

1

2

于點(diǎn)P₂，
∵OD=3，OC=1，
∴OA=CD=2，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
∴直線AP₂的解析式為y=-

1

2

x+2，
∴

y=- 1 2 x+2 x=- 1 2

，
∴解得：

x=- 1 2 y= 9 4

，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，

9

4

），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（-

1

2

，-

1

4

）、P₂（-

1

2

，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，推出B點(diǎn)的坐標(biāo)，（3）注意分情況討論，①若以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，推出P₁點(diǎn)為直線BC與對(duì)稱軸直線x=-

1

2

的交點(diǎn)，②若以AC為直角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，由A點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AP₂的解析式．