Question

平面內(nèi)，若點P與A、B兩點構(gòu)成等腰三角形，我們稱點P是A、B兩點的“巧妙點”．類似地，平面內(nèi)，若點P與A、B、C三點中的任意兩點均構(gòu)成等腰三角形，我們則稱點P是A、B、C三點的“巧妙點”．若A、B、C三點構(gòu)成三角形，也可稱點P是△ABC的“巧妙點”，則等邊三角形ABC的“巧妙點”的個數(shù)有

 

個．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì)

專題：新定義

分析：根據(jù)“巧妙點”的定義利用：（1）點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，所以點P是三角形的外心；
（2）點P在三角形的外部時，每條邊的垂直平分線上的點只要能夠使頂點這條邊的兩端點連接而成的三角形是等腰三角形即可．

解答：解：（1）點P在三角形內(nèi)部時，點P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點，是三角形的外心，
（2）點P在三角形外部時，一個對稱軸上有三個點，如圖：
共有9個點符合要求，
∴具有這種性質(zhì)的點P共有10個．
故答案為：10．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，要注意分點在三角形內(nèi)部和三角形外部兩種情況討論，思考全面是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．