Question

點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PA交雙曲線y=

1

x

于點(diǎn)A，連接OA并延長(zhǎng)，與雙曲線y=

1

x

交于點(diǎn)F，F(xiàn)H垂直于x軸，垂足為點(diǎn)H，連接AH、PF．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

3

2

時(shí)，求四邊形APFH的面積．
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B，連接BO并延長(zhǎng)，與雙曲線y=

1

x

交于點(diǎn)F，F(xiàn)H垂直于x軸，垂足為點(diǎn)H，連接BH、DF，求四邊形BDFH的面積．
（3）若雙曲線的解析式為y=

k

x

，四邊形BDFH的面積為

 

．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）如圖①，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)知道A、F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而FH垂直于x軸，AP⊥x軸，由此得到H、P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣就可以得到四邊形APFH的面積是△APO的四倍，而△APO的面積為反比例函數(shù)比例系數(shù)的絕對(duì)值的一半，由此即可解決問(wèn)題；
（2）思路和（1）完全一樣；
（3）思路和（1）完全一樣．

解答：解：（1）如圖①，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)知道A、F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而FH垂直于x軸，AP⊥x軸，
∴H、P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴四邊形APFH的面積是△APO的四倍，
設(shè)A的坐標(biāo)為（x，y）（x＞0，y＞0），
則xy=1，
而△APO的面積=

1

2

xy=

1

2

，
∴四邊形APFH的面積是4×

1

2

=2；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B，連接BO并延長(zhǎng)，與雙曲線y=

1

x

交于點(diǎn)F，F(xiàn)H垂直于x軸，垂足為點(diǎn)H，連接BH、DF，
那么同樣得B、F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，D、H 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴四邊形BDFH的面積是△OBD的面積的4倍，
而△OBD的面積同樣為

1

2

，
∴四邊形BDFH的面積是2；

（3）若雙曲線的解析式為y=

k

x

，四邊形BDFH的面積為2|k|．
故答案為：2|k|．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵 是利用函數(shù)圖象的性質(zhì)求出三角形的面積，然后利用三角形和四邊形的關(guān)系求出四邊形的面積解決問(wèn)題．