Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y-x稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”

（1）點(diǎn)A（2，6）的“坐標(biāo)差”為________；

（2）求拋物線y=-x2+5.x+4的“特征值”；

（3）某二次函數(shù)y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為-1，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式；

（4）二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上點(diǎn)下在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象與矩形的邊只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式及特征值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8；（3）y=-x2+3x-2；（4）y=-（x-5）2+7，

【解析】

（1）根據(jù)題目中的規(guī)定易得結(jié)論；

（2）根據(jù)定義求出y-x是關(guān)于x的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)論；

（3）先求得拋物線與y軸的交點(diǎn)C（0，c），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-c，0）,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得到b=1-c，再將b=1-c代入二次函數(shù)解析式，求出特征值y-x的代數(shù)式，然后由坐標(biāo)值為-1求出c的值，繼而求出b的值，即可求出二次函數(shù)解析式；

（4）先求出“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的解析式為y=x+2，由二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+2上，用頂點(diǎn)式可設(shè)二次函數(shù)為y=-（x-m）2+m+2.在兩種情況下二次函數(shù)的圖象與矩形只有三個(gè)交點(diǎn)：①拋物線頂點(diǎn)在直線y=x+2與FE的交點(diǎn)上時(shí)（如圖①）；②拋物線右側(cè)部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)（如圖②）.然后分別把（1，3）、（7，3）分別代入y=-（x-m）2+m+2，解得m的值，即可求出二次函數(shù)解析式，繼而求出其特征值.

（1）根據(jù)“坐標(biāo)差”的定義得：6-2=4；

（2）y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-（x-2）2+8，特征值是8

（3）由題意，得點(diǎn)C的坐排為（0，c），

∵點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，

∴B（-c.0），把B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得0=-（-c）2+b×（-c）+c，

∴b=1-c，

∴y=-x2+（1-c）x+c，

∵二次函數(shù)y=-x2+（1-c）x+c的“特征值”為-1.

∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c，

∴=-1，

∴c=-2，

∴b=3，

∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x-2

（4）解：“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)為y=x+2，

∵二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+2上，

∴設(shè)二次函數(shù)為y=-（x-m）2+m+2，

二次函數(shù)的圖象與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，如圖①、②，把（1，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（1-x）2+m+2，解得m1=1，m2=2（合去），

∴二次函數(shù)的解新式為y=-（x-1）2+3，

∴y-x=-（x-1）2+3-x=-x2+x+2=-（x-）2+，特征值是；

把（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（7-m）2+m+2，解得m1=5，m2=10（舍去），

二次函數(shù)的解析或?yàn)?/span>y=-（x-5）2+7，

∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-（x-）2+，特征值是.