Question

如圖1，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，2），連接AC，若tan∠OAC=2，
（1）求拋物線的解析式，并用配方法化為頂點式；
（2）在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使∠APC=90°？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2）所示，連接BC，M是線段BC上（不與B、C重合）的一個動點，過點M作直線l′∥l，交拋物線于點N，連接CN、BN，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)t為何值時，△BCN的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知了C點的坐標(biāo)，即可得到OC的長，根據(jù)∠OAC的正切值即可求出OA的長，由此可得到A點的坐標(biāo)，將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中，即可確定該二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式即可確定其對稱軸方程，由此可得到點P的橫坐標(biāo)；若∠APC=90°，則∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此兩角相等，則它們的正切值也相等，由此可求出線段PE的長，即可得到點P點的坐標(biāo)（用相似三角形求解亦可）；
（3）根據(jù)B、C的坐標(biāo)易求得直線BC的解析式，已知點M的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式，即可用t表示出M、N的縱坐標(biāo)，由此可求得MN的長，以MN為底，B點橫坐標(biāo)的絕對值為高，即可求出△BNC的面積（或者理解為△BNC的面積是△CMN和△MNB的面積和），由此可得到關(guān)于S（△BNC的面積）、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值及對應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點C（0，2），
∴c=2；
又∵tan∠OAC=

OC

OA

=2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵點A在拋物線y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

；

（2）存在．
過點C作對稱軸l的垂線，垂足為D，如圖所示，
∴x=-

b

2a

；
∴AE=OE-OA=

3

2

-1=

1

2

，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴

PE

EA

=

CD

DP

，即

PE

1 2

=

3 2

2-PE

，
解得PE=

1

2

或PE=

3

2

，
∴點P的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

）或（

3

2

，

3

2

）．

（3）如圖所示，易得直線BC的解析式為：y=-x+2，
∵點M是直線l′和線段BC的交點，
∴M點的坐標(biāo)為（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=

1

2

MN?t+

1

2

MN?（2-t），
=

1

2

MN?（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴當(dāng)t=1時，S_△BCN的最大值為1．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形、函數(shù)圖象交點以及圖形面積的求法等重要知識點；能夠?qū)�圖形面積最大（�。﹩栴}轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解答（3）題的關(guān)鍵．