Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），四邊形ABCD是正方形．

（1）填空：b＝　 　；

（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），試探索在x上方是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使得以O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）（7，4）；（3）存在，（﹣2，）或（，）

【解析】

（1）把（4,0）代入y＝﹣x+b即可求得b的值;

（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，證明，即可求得AE和DE的長(zhǎng)，則D的坐標(biāo)即可求得;

（3）分當(dāng)OM=MB=BN=NO時(shí)；當(dāng)OB=BN=NM=MO=3時(shí)兩種情況進(jìn)行討論.

解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得：﹣3+b＝0，解得：b＝3，

故答案是：3；

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

又∵直角△OAB中，∠1+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△OAB和△EDA中，

∴△OAB≌△EDA，

∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4，

∴OE＝4+3＝7，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，4）；

（3）存在．

①如圖2，當(dāng)OM＝MB＝BN＝NM時(shí)，四邊形OMBN為菱形．

則MN在OB的中垂線上，則M的縱坐標(biāo)是，

把y＝代入y＝﹣x+3中，得x＝2，即M的坐標(biāo)是（2，），

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，）．

②如圖3，當(dāng)OB＝BN＝NM＝MO＝3時(shí)，四邊形BOMN為菱形．

∵ON⊥BM，

∴ON的解析式是y＝x．

根據(jù)題意得：

解得：

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，）或（．