Question

如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB：BC=3：4，求∠C的正弦值．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵AO=BO，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴OD∥AC，
∵ED⊥AC，∴ED⊥OD
又∵AB=AC，∴OD==BO
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC
∵AB：BC=3：4，∴AC：CD=3：2
∴設(shè)CD=2k，AC=3k，∴∴
分析：（1）連接OD，由AO=BO，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，得出OD∥AC，，再由ED⊥AC，AB=AC，得到ED⊥OD，OD==BO，從而證得DE是⊙O的切線．
（2）連接AD，由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AB：BC=3：4，得到AD⊥BC，AC：CD=3：2，設(shè)CD=2k，AC=3k，得到AD=k，利用正弦定理得到sinC==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理以及銳角三角函數(shù)的定義，此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，但做起來(lái)一定要細(xì)心，不然很容易出錯(cuò)．