Question

如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，∠CBD=30°，則圖中陰影部分的面積為

 

；
（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E若BC=12，tan∠CDA=

2

3

，求BE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）求得△ODC的面積和扇形OAD的面積，二者的差就是陰影部分的面積；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=

OB

BE

=

2

3

，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

2

3

，求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長．

解答：（1）證明：連OD，OE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵∠DOA=2∠CBD=60°，
∴S_扇形OAD=

60π

360

=

π

6

，
在直角△OCD中，CD=OD•tan∠DOA=

3

，
則S_△ODC=

1

2

OD•CD=

3

2

，
∴S_影陰=

3

2

-

π

6

；
（3）∵∠CDA=∠CBD，tan∠CDA=

2

3

，
∴tan∠CBD=

2

3

，
∵∠ADB=90°，
∴

AD

DB

=

2

3

，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

2

3

，
∴CD=

2

3

×12=8，
∵tan∠OEB=

OB

BE

=

2

3

，
在Rt△CBE中，設(shè)BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的長為5．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．