Question

【題目】如圖12，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系(、、)，并證明你的判斷；

(3)為軸上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)，求自然數(shù)的值；

(4)若，在直線下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積最大，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1；（2）BF=BC，理由詳見(jiàn)解析；（3）6；（4）當(dāng)t=2時(shí)，S△QBF有最大值，最大值為+1，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如圖1，利用菱形的性質(zhì)得到CB=CF=PF，加上CB=FB，則可判斷△BCF為等邊三角形，所以∠BCF=60°，則∠OCF=30°，于是可計(jì)算出CF=4，所以PF=CF=4，從而得到自然數(shù)m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，先解方程組得B（1+，3+），設(shè)Q（t，t2+1），則E（t，t+2），則EQ=﹣t2+t+1，則S△QBF=S△EQF+S△EQB=（1+）EQ=（1+））（﹣t2+t+1），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

試題解析：

（1）把點(diǎn)（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=x2+1；

（2）BF=BC．

理由如下：

設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），

∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，

∴BF=x2+1，

∵BC⊥x軸，

∴BC=x2+1，

∴BF=BC；

（3）如圖1，m為自然數(shù)，則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，

∵以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

∴CB=CF=PF，

而CB=FB，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF為等邊三角形，

∴∠BCF=60°，

∴∠OCF=30°，/span>

在Rt△OCF中，CF=2OF=4，

∴PF=CF=4，

∴P（0，6），

即自然數(shù)m的值為6；

（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，

當(dāng)k=1時(shí)，一次函數(shù)解析式為y=x+2，

解方程組 得 或，則B（1+，3+），

設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），

∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，

∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=（1+）EQ=（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，

當(dāng)t=2時(shí)，S△QBF有最大值，最大值為+1，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．