Question

如圖，P為正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=2，PB=4，PC=2

3

，求正三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CB=CA，∠ACB=90°，則利用旋轉(zhuǎn)的定義，可把△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDB，如圖，作CH⊥BD于H，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CP=2

3

，∠PCD=60°，BD=AP=2，于是可判斷△CPD為等邊三角形，得到∠PDC=60°，PD=CP=2

3

，在△PDB中，利用勾股定理的逆定理得到∠PDB=90°，根據(jù)平角定義可計(jì)算出∠CDH=30°，在Rt△CDH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CH=

1

2

CD=

3

，DH=

3

CH=3，則BH=BD+DH=7，接著在Rt△BCH中，利用勾股定理計(jì)算出BC²=52，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴把△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到△CDB，如圖，作CH⊥BD于H，
∴CD=CP=2

3

，∠PCD=60°，BD=AP=2，
∴△CPD為等邊三角形，
∴∠PDC=60°，PD=CP=2

3

，
在△PDB中，PB=4，BD=2，PD=2

3

，
∵2²+（2

3

）²=4²，
∴BD²+PD²=PB²，
∴△PDB為直角三角形，
∴∠PDB=90°，
∴∠CDH=180°-90°-60°=30°，
在Rt△CDH中，CH=

1

2

CD=

3

，DH=

3

CH=3，
∴BH=BD+DH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC²=BH²+CH²=5²+（

3

）²=28，
∴正三角形ABC的面積=

3

4

BC²=

3

4

×28=7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．