Question

如圖所示，△ABC，△ADE為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．
（1）如圖1，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)．則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是______；∠EFD的度數(shù)為______；
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)．則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）若△ADE繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖③的位置，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)，連接EF、FC，請(qǐng)你完成圖3，并直接寫出線段EF與FC的關(guān)系（無(wú)需證明）．

Answer 1

解：（1）EF=FC，90°．

（2）延長(zhǎng)CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC
∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，
∴△MDE≌△CAE，
∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，
∴∠MEC=90°，
∴EF=FC，EF⊥FC

（3）EF=FC，EF⊥FC．

分析：（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．
（2）延長(zhǎng)線段CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，易證△BFC≌△DFM，進(jìn)而可以證明△MDE≌△CAE，即可證明EF=FC，EF⊥FC；
（3）基本方法同（2）．
點(diǎn)評(píng)：延長(zhǎng)過(guò)三角形的中線構(gòu)造全等三角形是常用的輔助線方法，證明線段相等的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題解決．