Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，動點P、Q同時從A點出發(fā)，點P沿AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動．點Q沿折線ADC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，設運動時間為t秒．
（1）當t=2秒時，求證：PQ=CP；
（2）當2＜t≤4時，等式“PQ=CP”仍成立嗎？試說明其理由；
（3）設△CPQ的面積為S，那么S與t之間的函數關系如何？并問S的值能否大于正方形ABCD面積的一半？為什么？

Answer 1

分析：（1）當t=2時，P恰好是AB的中點，求證△CBP≌△DAP后可得PQ=CP．
（2）當2＜t≤4時，過Q點作QE⊥AB于E，求出AE=QD=2t-4，AP=t，PE=t-（2t-4），PB=4-t，求證△CBP≌△DEP，推出PC=PQ仍然成立
（3）本題分兩種情況解答：當0≤t≤2時，S=16-S_△APQ-S_△PBC-S_△CDQ化簡可得S關于t的二次函數式．當2＜t≤4時，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）作PF⊥CQ求出S關于t的二次函數式，分別根據二次函數的性質對兩種情況進行判斷．

解答：（1）證明：當t=2時，（如圖1），Q與D重合，P恰好是AB的中點，△CBP≌△DAP，
則PQ=CP；

（2）解：當2＜t≤4時，如圖2）Q在CD上，
過Q作QE⊥AB于E，AE=QD=2t-4，AP=t．
PE=t-（2t-4）=4-t．
PB=4-t，PB=PE，BC=EQ
∴△CBP≌△QEP，
∴PC=PQ仍然成立


（3）解：當0≤t≤2時，（如圖3），S=16-S_△APQ-S_△PBC-S_△CDQ=16-

1

2

×4(4-t)-

1

2

t•2t-

1

2

×4(4-2t)，
S=-t²+6t，
當2＜t≤4時，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）=8-2t．
過P作PF⊥CQ，則PF=4．S=

1

2

×4（8-2t）=-4t+16
又∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9開口向下對稱軸為t=3，
∴0≤t≤2時，S隨t增大而增大，
當t=2時，S取得最大值為8．
又∵S=-4t+16，t=

16-s

4

∵2＜t≤4
∴2＜

16-s

4

≤4
即8＞s≥0，
∴S的值不可能超過正方形面積的一半8．

點評：本題考查的是二次函數的性質，正方形的性質以及全等三角形的判定，難度偏大．