Question

如圖，A為⊙O上一點，以A為圓心的⊙A交⊙O于B、C兩點，⊙O的弦AD交公共弦BC于E點．
（1）求證：AD平分∠BDC；
（2）求證：AC²=AE•AD．

Answer 1

分析：（1）連接AO，由相交弦定理就可以得出AO垂直平分BC，由垂徑定理就可以得出

AB

=

AC

，從而得出∠ADB=∠ADC而得出結論；
（2）由（1）的結論可以得出∠ADC=∠ACE，從而得出△ACE∽△ADC，由相似三角形的性質就可以得出結論．

解答：（1）證明：連接AO交BC于點F，
∴AO⊥BC，CF=BF，
∴

AB

=

AC

，
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；

（2）證明：∵∠ADB=∠ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠DAC=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AD

=

AE

AC

，
∴AC²=AE•AD．

點評：本題考查了相交弦定理的運用，垂徑定理的運用，圓周角定理的運用，相似三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形相似是關鍵．