Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時將點A，B向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到點A，B的對應(yīng)點分別是C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABCD}．  
（2）在y軸上是否存在點P，連接PA，PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABCD}？若存在這樣的點，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．（如圖2）
（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合）給出下列結(jié)論：（如圖3）．
①

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變；②

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不變；③S_△CPD+S_△OPB的值可以等于

5

2

；④S_△CPD+S_△OPB的值可以等于

13

4

．
以上結(jié)論中正確的是：

 

．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),三角形的面積,坐標與圖形變化-平移

專題：

分析：（1）根據(jù)向右平移橫坐標加，向上平移縱坐標加寫出點C、D的坐標即可，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的面積求出S_△PAB=S_{四邊形ABCD}時點P到AB的距離，再寫出P的坐標即可；
（3）過點P作PE∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DCP=∠CPE，根據(jù)平行公理可得PE∥AB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BOP=∠OPE，然后求出∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，再求出比值即可，再利用最值求法分析得出答案．

解答：解：（1）∵點A，B的坐標分別為（-1，0），（3，0），
現(xiàn)同時將點A，B向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到點A，B的對應(yīng)點分別是C，D，
∴C（0，2），D（4，2），
四邊形ABCD的面積=（3+1）×2=8；

（2）設(shè)S_△PAB=S_{四邊形ABCD}時點P到AB的距離為h，
則

1

2

×（3+1）h=8，
解得h=4，
∴要使S_△PAB=S_{四邊形ABCD}，則點P的坐標為（0，4），（0，-4）；

（3）過點P作PE∥CD，
則∠DCP=∠CPE，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠BOP=∠OPE，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，值不變，正確；
同理可得出：①

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變，錯誤；
③當P點在D點時，S_△CPD+S_△OPB的值最小，此時S_△CPD+S_△OPB=

1

2

×3×2=3，故S_△CPD+S_△OPB不可以等于

5

2

，此選項錯誤；
∵

13

4

＞3，
∴S_△CPD+S_△OPB的值可以等于

13

4

，則該選項正確．
故答案為：②④．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，坐標與圖形變化-平移，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．