Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABCD}．  
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，連接PA，PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABCD}？若存在這樣的點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．（如圖2）
（3）點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合）給出下列結(jié)論：（如圖3）．
①

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變；②

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不變；③S_△CPD+S_△OPB的值可以等于

5

2

；④S_△CPD+S_△OPB的值可以等于

13

4

．
以上結(jié)論中正確的是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,坐標(biāo)與圖形變化-平移

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的面積求出S_△PAB=S_{四邊形ABCD}時(shí)點(diǎn)P到AB的距離，再寫(xiě)出P的坐標(biāo)即可；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DCP=∠CPE，根據(jù)平行公理可得PE∥AB，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOP=∠OPE，然后求出∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，再求出比值即可，再利用最值求法分析得出答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），
現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C，D，
∴C（0，2），D（4，2），
四邊形ABCD的面積=（3+1）×2=8；

（2）設(shè)S_△PAB=S_{四邊形ABCD}時(shí)點(diǎn)P到AB的距離為h，
則

1

2

×（3+1）h=8，
解得h=4，
∴要使S_△PAB=S_{四邊形ABCD}，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），（0，-4）；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD，
則∠DCP=∠CPE，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠BOP=∠OPE，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，值不變，正確；
同理可得出：①

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變，錯(cuò)誤；
③當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，S_△CPD+S_△OPB的值最小，此時(shí)S_△CPD+S_△OPB=

1

2

×3×2=3，故S_△CPD+S_△OPB不可以等于

5

2

，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵

13

4

＞3，
∴S_△CPD+S_△OPB的值可以等于

13

4

，則該選項(xiàng)正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形變化-平移，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．