Question

如圖，平面直角坐標系中，點A（1，2）、B（5，6），點P是x軸上的一個動點，當△PAB周長最小的時候：
（1）畫出點P，保留作圖痕跡；
（2）求點P坐標；
（3）直線PA上是否存在點M，使得PM=PB？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B與x軸相交于一點，交點即為所求作的點P；
（2）設AA′與x軸的交點為C，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，根據點A、B的坐標求出A′C、BD的長度以及CD的長度，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出CP、PD的比，然后求出CP的長度，從而得到PO的長度，即可得到點P的坐標；
（3）根據軸對稱性可知，點B關于x軸的對稱點即為所求的一個點，這個點關于點P的對稱點也是符合要求的一個點．

解答：解：（1）如圖所示，點P即為使△PAB周長最小的點；

（2）設AA′與x軸的交點為C，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵A（1，2）、B（5，6），
∴A′C=2，BD=6，CD=5-1=4，
∵A′C⊥x軸，BD⊥x軸，
∴A′C∥BD，
∴△A′CP∽△BDP，
∴

CP

PD

=

A′C

BD

=

2

6

=

1

3

，
∴CP=

1

3

PD=

1

3

（CD-CP）=

1

3

（4-CP），
解得CP=1，
∵A（1，2），
∴點C的坐標為（1，0），
∴OP=1+1=2，
∴點P的坐標為（2，0）；

（3）直線PA上存在點M，使得PM=PB．
①點M為點B關于x軸的對稱點（5，-6）時，符合題意；
②點（5，-6）關于點P的對稱點時也符合題意，
此時點M的坐標為（-1，6），
綜上所述，點M的坐標為（5，-6）或（-1，6）時，PM=PB．

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，利用軸對稱求最短路線問題，相似三角形的判定與性質，熟練掌握利用軸對稱確定最短路線的點是解題的關鍵．