Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 A（3，0）、B（1，2），直線l圍繞△OAB的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，與y軸相交于點(diǎn)P．探究解決下列問(wèn)題：
（1）在圖1中求△OAB的面積．
（2）如圖1，當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)到與邊OB相交時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置，使頂點(diǎn)O、B到直線l的距離之和最大，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)到與y軸的負(fù)半軸相交時(shí)，在圖2中試確定點(diǎn)P的位置，使頂點(diǎn)O、B到直線l的距離之和最大，畫(huà)出圖形并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．（點(diǎn)P位置的確定只需作出圖形，不用證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥OA，垂足為E．根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)易求BE=2，OA=3，則由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；
（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作直線l⊥OB于點(diǎn)F，l與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置．過(guò)點(diǎn)O作OD⊥l于D，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥l于C．利用三角形的面積公式得到S_△OAB=

1

2

FA（OD+BC）=3為定值，F(xiàn)A取最小值即可．由垂線段最短入手進(jìn)行解答；
（3）如圖3所示，作輔助線構(gòu)建全等三角形△ABE≌△AGH（AAS），由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，易推知tan∠OPA=tan∠HOG=

2

5

，利用銳角函數(shù)的定義來(lái)推知P（0，-

15

2

）．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥OA，垂足為E．
∵B（1，2），
∴BE=2，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∴S_△OAB=

1

2

OA•BE=

1

2

×3×2=3；

（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作直線l⊥OB于點(diǎn)F，l與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置．
理由如下：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥l于D，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥l于C．
∵S_△OAB=

1

2

FA•OD+

1

2

FA•BC=

1

2

FA（OD+BC）=3為定值．
要使點(diǎn)O、B到直線l的距離之和最大，即OD+BC最大，只要使FA最小，
∴過(guò)A點(diǎn)作直線l⊥OB于點(diǎn)F，此時(shí)FA即為最小值（此時(shí)，點(diǎn)F、D、C重合）．
∴l(xiāng)與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置；

（3）如圖3所示，延長(zhǎng)BA到G點(diǎn)，使BA=AG，聯(lián)結(jié)OG，則S_△OAG=S_△OAB，
旋轉(zhuǎn)直線l至l⊥OG于點(diǎn)F，與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，
∵B（1，2），A（3，0），
∴EB=EA=2．
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，
∴△ABE≌△AGH（AAS），
∴AH=2，GH=2，
∴OH=5，
∴tan∠HOG=

2

5

，
又∵直線l⊥OG于點(diǎn)F，
∴∠OPA=∠HOG，
∴tan∠OPA=tan∠HOG=

2

5

，
∴

OA

OP

=

2

5

，
∴

3

OP

=

2

5

，
∴OP=

15

2

，
∴P（0，-

15

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何變換綜合題．熟練掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形的面積公式、三角形的三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．