Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，則下列結(jié)論：①DE⊥EC；②點E是AB中點；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正確的有

①②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角梯形、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)進行分析、判斷，并作出正確的選擇．

解答：解：①：∵AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE
∴∠DCE+∠CDE=90°
∴DE⊥EC；
故本選項正確；

②延長DE交CB的延長線于點F．
∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分線，
∴∠CDF=∠ADE=∠DFC，
∴CD=CF，
∴△CDF是等腰三角形；
又由①知DE⊥EC，
∴DE=FE，
又∵∠AED=∠BEF，
∴△BEF≌△AED，
∴AE=EB，
∴點E是AB的中點；
故本選項正確；

③由②知，△BEF≌△AED，∴△BEF∽△AED，
∴AD•BC=BE•AE
故本選項錯誤；

④∵△BEF≌△AED，
∴AD=BF；
又∵CD=CF，
∴CD=AD+BC；
故本選項正確；
綜上所述，①②④正確；
故答案是：①②④．

點評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時，利用了平行線、角平分線以及等腰三角形的性質(zhì)．