Question

（12分）如圖1，在平面上，給定了半徑為的⊙，對于任意點,在射線上取一點,使得·＝，這種把點變?yōu)辄c的變換叫做反演變換，點與點叫做互為反演點，⊙稱為基圓.
 
⑴如圖2，⊙內有不同的兩點、，它們的反演點分別是、，則與∠一定相等的角是（   ▲  ）

A．∠

B．∠

C．∠

D．∠

⑵如圖3，⊙內有一點，請用尺規(guī)作圖畫出點的反演點；（保留畫圖痕跡，不必寫畫法）.
⑶如果一個圖形上各點經(jīng)過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．已知基圓的半徑為，另一個半徑為的⊙，作射線交⊙于點、，點、關于⊙的反演點分別是、，點為⊙上另一點，關于⊙的反演點為．求證：∠＝90°.

Answer 1

（1）（C）
（2）過作⊥交⊙于點，連.
過作⊥交射線于點.
點即為所求.
（3）連、.
∵是⊙直徑，
∴∠＝90°.
∵∠是△的外角，
∴∠－∠＝∠.
∵點、關于⊙的反演點分別是，.
∴
∴△△
∴∠∠
同理：△△
∴∠∠ 
由等式性質知：
∠－∠＝∠－∠
∴∠＝∠
即∠＝90°

此題主要考查的是相似三角形的判定與性質；點與圓的位置關系