Question

如圖，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：
①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，
其中正確的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠C，再根據(jù)等角對等邊可得BE=CE，結(jié)合圖形AC-CE=AE即可得到①正確；延長AD交BC與F，利用“角邊角”證明△ABD和△FBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAD=∠AFB，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式即可得到∠BAD-∠C=∠DAE，從而的得到②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余用∠C表示出∠BAD，再代入②整理可得∠DAE=90°-2∠C，得到③錯(cuò)誤；取CF的中點(diǎn)G，連接DG，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DG∥AC，AC=2DG，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠C=∠3，然后求出∠2=∠3，根據(jù)等角對等邊可得BD=DG，從而得到AC=2BD，判定④正確．
解答：∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正確；
延長AD交BC與F，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴∠BAD=∠AFB，
在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，
∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正確；
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，
∴90°-∠C-∠C=∠DAE，
∴∠DAE=90°-2∠C，故③錯(cuò)誤；
取CF的中點(diǎn)G，連接DG，則DG是△ACF的中位線，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，本題難點(diǎn)在（4），作輔助線，利用三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．