Question

【題目】如圖，□ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B，D都在拋物線y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使以A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+5；（2）存在點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）（3）或.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出A、B、C、D坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷其是否在函數(shù)的圖像上即可；

（3）當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，分為∠APQ=90°或∠AQP=90°兩種情況，通過(guò)解直角三角形求解即可.

試題解析：解：(1) ∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB= AC=5．

∴tan∠ACB==，∴．

由勾股定理，得OA2+OC2=AC2, ∴()2+OC2=52，解得OC=±4(負(fù)值舍去) ．

∴，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A(0，3)，B(-4，0) ，C(4，0) ，D(8，3) ．

∴

解之得

∴拋物線的解析式為y=x2+x+5.

(2)存在.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC=AB= CD.

又∵AD≠CD，

∴當(dāng)以A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，AC=CD=DE=AE

由對(duì)稱性可得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）

當(dāng)x=4時(shí)，y=x2+x+5=6，所以點(diǎn)（4，6）在拋物線y=x2+x+5上.

∴存在點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）

(3) ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°.

∴當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，∠APQ=90°或∠AQP=90°.

∵，∴.

由題意可知AP=t，AQ=5-t，0≤t≤5.

當(dāng)∠APQ=90°時(shí)， ，∴，解得.

當(dāng)∠AQP=90°時(shí)， ，∴，解得.

∵，

∴或.