Question

已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切．試證：EF中點P是△ABC之內(nèi)心．

Answer 1

證明：如圖，顯然EF中點P、圓心Q，BC中點K都在∠BAC平分線上．
易知AQ=．
∵QK•AQ=MQ•QN，
∴QK=
==sinα•（2R-r）．
由Rt△EPQ知PQ=sinα•r．
∴PK=PQ+QK=sinα•r+sinα•（2R-r）=sinα•2R．
∴PK=BK．α
利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，
即知P是△ABC的內(nèi)心．
分析：根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可以得出EF中點P、圓心Q，BC中點K都在∠BAC平分線上，再利用相交弦定理表示出QK，再結(jié)合正弦定理運(yùn)用兩圓的半徑表示出QK，
點評：此題主要考查了內(nèi)心的有關(guān)知識與相交弦定理，以及余弦定理的應(yīng)用和內(nèi)心等量關(guān)系等知識．