Question

關(guān)于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍．
（2）若k≠0，試說(shuō)明此方程有兩個(gè)負(fù)根．
（3）在（2）的條件下，若|x₁|-|x₂|=4，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=4（k-1）²-4k²＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，由于k＜

1

2

，k≠0，所以x₁+x₂=2（k-1）＜0，x₁•x₂=k²＞0，然后根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)得到x₁，x₂都為負(fù)數(shù)；
（3）先根據(jù)x₁，x₂都為負(fù)數(shù)，去絕對(duì)值得到-x₁+x₂=4，兩邊平方后變形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，則4（k-1）²-4k²=16，然后解方程即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=4（k-1）²-4k²＞0，
解得k＜

1

2

；
（2）∵k＜

1

2

，k≠0，
∴x₁+x₂=2（k-1）＜0，x₁•x₂=k²＞0，
∴x₁，x₂都為負(fù)數(shù)，即此方程有兩個(gè)負(fù)根；
（3）∵x₁，x₂都為負(fù)數(shù)，|x₁|-|x₂|=4，
∴-x₁+x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，
∴4（k-1）²-4k²=16，
∴k=-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．