Question

如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AB=BC=AC，∠BAC=∠C=60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC=∠EBA，AD=BE．既可以得出∠BPQ=60°，就可以求出PB的值，進(jìn)而求出BE的值而得出結(jié)論

解答：解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAE=60°，-
在△ADC與△BEA中，

AC=BA ∠C=∠BAC CD=AE

，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；

（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠DAC=∠EBA，AD=BE．
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠DAC=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ．
∵PQ=4，
∴BP=8．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=9，
∴AD=BE=9．
答：AD=9．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．